[FDTD]《计算电磁学》2010课件

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      有限差分法通用的差分格式，还是基于泰勒展开方法，采用"加权"（待定）系数的方法得到二阶精度的一阶、二阶偏导数的差分格式；媒质边界处的差分格式，其分析方法有两种：一是数学方法，采用两个媒质区域的差分格式，由媒质边界条件消去虚电位，得到差分格式；二是物理方法，由媒质的Laplace方程，在媒质区域用其积分方法，积分离散得到差分格式。第二种方法更为简洁清晰。三类边界条件的处理，根据边界处节点位置、法向采用差分格式离散。

        Poisson方程的有限差分法，有两个离散过程：一是求解区域的网格离散，二是偏微分方程的离散。采用矩形网格离散，是有限差分法自然特点。把二阶偏导的有限差分格式带入Poisson方程，得到方程离散的五点差分格式。对于求解区域每一个待求节点上电位都满足五点差分格式，这样得到关于求解域上所有节点电位的线性差分方程组。方程的排列顺序根据节点排列顺序：从下向上、从左到右。对方程中各节点排序也采用这个顺序，这个得到主对角占优的稀疏矩阵方程。 *=Z26  

       对于主对角占优的稀疏矩阵方程的求解，采用直接法和迭代法，但直接法的计算量大，对节点数多的大问题，计算量很可观。迭代法中松弛法的思想是数值计算的余数趋近于零思想，对于五点差分格式，可以得到直接对当前节点的迭代格式的雅可比方法，雅可比方法的计算特点需要两个数组资源，为了消除双倍资源消耗，根据雅可比迭代方程的特点，简单修改得到高斯-赛德尔迭代格式，并且迭代速度大大增加。为了得到更高的迭代速度，根据高斯-赛德尔格式采用线性插值方法（与龙格-库塔法思想一样），得到有收敛因子项的SOR迭代法。

通过金属槽电位计算的典型算例分析，如何从场问题——》数学模型——》网格离散——》差分方程——》关键技术（边界条件，初始条件）——》方程求解，这样的分析过程。其流程图实际反映了要编程实现的过程。

Helmholtz方程的有限差分法，方程中对空间的二阶偏导采用前面的Poisson方程五点差分格式。方程的差分离散得到是广义特征值方程。通过求解特征值方程，得到波导中的特征值和模式分布。

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