[其它]金属非金属组合目标时域积分方程法稳定精确求解

时域积分方程，时间步进算法，金属非金属组合目标 =+<DNW@%  
金属非金属组合目标的时域电磁散射分析是计算电磁学领域非常重要和极具挑战性的问题. 本文在精确计算时域自阻抗矩阵元素的基础上，利用时域电场积分方程的时间步进算法（MOT）求解了组合目标的时域电磁散射. 通过数值计算实例证明了基于精确计算时域自阻抗矩阵元素基础上的时间步进算法的后时稳定性. 8{7'w|/;.{  
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引 言 >m=
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瞬态电磁场的数值模拟在军事应用（如超宽带雷达）、生物电磁学（如医学诊断等）、地球物理勘探、民用通讯等领域中具有广泛的工程应用前景. 金属非金属组合目标的时域电磁散射是计算电磁学领域非常重要和极具挑战性的问题. 求解该问题的数值方法包括矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）. 当介质体目标为均匀或分块均匀的情况下，组合目标时域电磁散射可以表示成为导体表面、介质表面或它们的分界面上的时域表面积分方程. 因此，采用时间步进（MOT）算法求解时域表面积分方程来获得组合目标的时域电磁散射，不但可以避免对介质体的离散，还可以较大幅度地降低未知量数目. 5g'aNkF6>  
然而，求解时域积分方程的MOT算法总是存在计算精度较差和后时不稳定性的困难，此困难在利用时间步进算法求解组合目标时域积分方程时表现得尤为突出并严重地限制了其实际应用范围. 国内外许多学者对时间步进算法的后时不稳定性进行了广泛和较为深入的研究并提出了一些改进方法[1~7]. 本文通过精确计算时域阻抗矩阵元素并采用隐式时间步进算法，精确稳定地求解了组合组合目标的时域电场积分方程（TDEFIE）. N ;n55N  
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2. 金属非金属组合目标时域电场积分方程及其MOT算法 '^O
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不失一般性，我们仅以单个介质目标和单个金属目标组合而成的组合目标为例. 假设组合目标以外的均匀区域和介质体的媒质参数分别为 和 ，金属表面的等效电流为 ，介质表面的等效电流和等效磁流分别为 和 ， 为各个子目标表面的单位外法向矢量. 根据等效原理，各个区域内的感应电磁场均可以用位于其边界面上的等效电流和等效磁流来描述. 据感应电流和磁流在分界面上切向电场连续的边界条件可以得到组合目标的时域电场积分方程为， ymR AQVv  
  (1) =BV_?  
  (2) 41rS0QAM  
  (3) Y9%zo~]-W'  
其中，其中 和 分别表示介质体目标内、外表面， 表示金属表面 63t'|9^5  
       (4) X*bOE}  
         (5) h^w# I  
     (6) >Il{{{\>  
其中 或 分别表示介质目标外部或内部. B <HD
 
为了利用数值方法求解方程 (1) ~ (3) 并求得感应电流 和磁流 ，需要将感应电流 和磁流 用空间基函数 和 （ ）以及时间基函数 （ ）展开， 5twG2p8  
       （7） AvuGAlP  
     （8） !NKPy+v  
其中 和 为与时空基函数 相关的待求加权系数. 若展开电流 的空间 采用RWG矢量基函数，通常展开磁流 的基函数 表示为 - s{&_]A~  
                  (9) 83'rQDo)G  
将展开式 (7) 和 (8) 代入方程 (1) ~ (3)，并在空间上采用伽略金方法、在时间上采用点匹配方法（时间匹配点为 ）可以得到下列矩阵方程， xyXVWd[  
          (10) P`_Q-vu  
其中，  ZLf(m35  
               (11) mVK^gJ3  
    (12)
8)b*q\O'  
   (13) 3cNr~`7  
这里， ， 为 维矩阵、 为 维矩阵、 为 维矩阵和 为 维矩阵；而右端向量和时域阻抗矩阵元素可以分别表示为， 9):^[Wkx  
     (14) &##JZ  
        (15) &s\/Uq  
      (16) tqKX\N=5^  
其中推迟时间 ，且当 时式（16）右边第一项取“＋”号、当 时式（16）右边第一项取“－”号. [?]p I  
式（15）中的奇异性积分可以表示为， %T;VS-f  
  (17) M{Vi4ehOq  
其中 和 分别为检验三角形单元 和基函数三角形单元 的面积； 表示积分区域中的正则标量或矢量函数；而 表示时间基函数的时间导数或时间积分. 若式（17）中的外层面积分采用标准的高斯积分方法，则奇异性积分（17）可以表示成为， y>r^ MQ  
(18) m8gU8a"(  
其中 ， 表示高斯积分法的权系数， 为高斯积分节点的空间坐标. 式 (18) 的奇异性内层积分可采用文献[3]所提出的方法来精确计算. N~(?g7  
uw`J5TND  
3. 数值计算结果及讨论 $UdFm8&  
在本节中，将通过计算实例来证明本文时间步进算法的精确性和后时稳定性. 假定入射电场为高斯平面波并表示为 "Gq%^^*
 
                (19) =;?Maexp3$  
其中 、 、 和 ，在以下所有计算实例中，时间步长 均取为 0.8 ns. 8lCo\T5"  
=trLL+vGw'  
图1 金属半球非金属半球组合目标在观察点 处的等效电流 分量的计算结果对比 KJV],6d  
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在第一个例子中，金属非金属组合目标为一个半径为1m、球心位于坐标原点的球体，球体的右半部分为金属、左半部分为介质体、介质金属分界面与 坐标平面重合，介质体的介电常数 . 目标被剖分成1684个平面三角形单元、共2526个基函数. 图1给出了利用时域电场积分方程时间步进算法在观察点 处所计算的等效电流 分量与频域积分方程法和逆傅立叶变换结果. 从图1可以看出，本文方法得到了非常精确稳定的时间步进算法. !;Ctz'wz  
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图2 金属长方体非金属长方体组合目标在观察 .. H^$7=  
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参考文献 e]3b0`E  
[1]    D. Vechinski and S. M. Rao, “A stable procedure to calculate the transient scattering by conducting surfaces of arbitrary shape.” IEEE Trans. Antennas Propagat.,vol.40, no.6, pp.661-665, 1992. x:`"tJa  
[2]    P. J. Davies and D. B. Duncan, “Averaging techniques for time-marching schemes for retarded potential integral equations,” Appl. Numer. Math., vol.23, pp. 291-310, 1997. U^9#uK6GM  
[3]    Yan-Wen Zhao, Zai-Ping Nie et al, “A Stable and Accurate Time-Marching Solution of the Time-domain Electric Integral Equation”, Antennas and Propagation Society International Symposium, 2005 IEEE Volume 3A, 03-08 July 2005, pp.187-190. h@D!/PS  
[4]    D. S. Weile et al., “A novel schemes for the solution of the time domain integral equations of electromagnetics,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.52, no.1, pp.283-295, 2004. H>|*D~RdT  
[5]    G. Pisharody and D. S. Weile, “Robust solution of time-domain integral equations using loop-tree decomposition and bandlimited extrapolation,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.53, no.6, pp.2089-298, 2005. Y i`wj^  
[6]    S.M. Rao and T.K. Sarkar, Numerical Solution of Time Domain Integral Equations for Arbitrarily Spaped Conductor/Dielectirc Composite Bodies, IEEE Trans. Antennas and Propagat, Dec. 2002, 50:  1831-1837 RhSoD.Da  
[7]    Beak Ho Jung and T.K. Sarkar, Transient Electromagnetic Sctterieg From Dielectric Objects Usieg the Electric Field Ietegrl Equation With Laguerre Polynomials as Temporal Basis Functions, IEEE Trans. Antennas and Propagat., Sep. 2004, 52: 2329-1837.

这个资料很有意思，多谢楼主分享