[其它]两层平面波时域展开方法研究

时域电场积分方程 时间步进 时域平面波 uO@3vY',n  
Secq^#]8  
时域平面波展开算法可以大幅降低计算电大尺寸目标的计算量和存储量，因此具有较大的工程应用价值. 本文首先研究两层平面波时域展开算法的原理，然后通过对实际算例的分析,给出了影响该算法计算精度和速度主要参数的最佳取值，最后给出了利用两层平面波时域展开方法求解平板目标的算例. M'zS7=F!:  
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引 言 @ Rx6 >52>  
随着宽带信号和非线性系统的工程应用日益增加，瞬态电磁波动现象的数值算法研究也日趋活跃. 这些数值算法主要分为两大类：微分方程方法（DE）和积分方程方法（IE）. 积分方程方法相对于微分方程方法虽然存在后时不稳定等问题，但在研究表面散射体时，前者具有无可争辩的优势：首先，积分方程方法只需对散射体表面进行离散，其未知量要比微分方程方法小的多；其次，积分方程方法无须强加吸收边界条件，自动满足辐射条件. AXP`,H  
近几年关于积分方程方法的研究大多集中在如何消除MOT（时间步进）算法后时不稳定性的问题上[1,2]. 但是对于电大尺寸的目标，在改进MOT算法稳定性和精度的同时，减少其计算量和存储量更为迫切. 由Eric等人提出的平面波时域展开（PWTD）方法[3,4]可以大幅减少电大尺寸目标的计算量和存储量：传统的MOT算法的计算量为 ，而两层平面波时域展开方法的计算量为 ，多层平面波时域展开方法计算量为 . 因此研究电大尺寸目标的瞬态散射问题，平面波时域展开方法有较大的优势. 15
KV}){  
影响两层平面波时域展开方法计算精度和速度的因素有很多，关键参数的取值尤为重要. 本文通过数值算例对关键参数进行讨论和分析，相关结果可作为应用PWTD算法的参考. DwmU fZp  
N1N{Ol'  
2. 时域电场积分方程（TDEFIE）及时间步进算法（MOT） 1i/::4=  
假设任意形状金属导体的表面为 ，入射电场为 ，该电场在导体表面 上所产生的感应电流为 ，则时域电场积分方程可以写成 nt0\q'&  
(e>Rot0  
其中， 和 分别为导体周围介质的介电常数和磁导率，而 为导体表面上任意场点和源点之间的距离； 为电磁波在周围介质中的传播速度. <2O7R}j7v  
    利用MOT方法求解此积分方程（即求解 ），需要将感应电流 用空间基函数 和时间基函数 展开， =Y/fF  
EEs-&  
其中， 为时刻 、表面电流在第n个边上的垂直分量. 如果采用三角形时间基函数 以及RWG空间基函数 [5]，并在空间上采用伽略金方法、在时间上采用点匹配方法，可以得到下面的矩阵方程 R G0S
  
   （1） -9>LvLU  
其中 M?xpwqu\  

0GX10*t.  
gFs/012{  
其中推迟时间 . 矩阵方程（1）是经典时间步进算法的基础：该算法就是通过在时间步上递推求解方程（1）来获得所需的每一时间步上的感应电流密度. 此算法中主要计算量在于构成其右端向量：它涉及电流向量与矩阵的乘积，在每一时间步上其计算量为 . 因此，在整个时间步进算法中，总的计算量为 ，采用下面描述的平面波时域展开方法，目的就是为了减少向量与矩阵乘积的计算量. 4Kn9*V  
QhXC>)PW  
3. 两层平面波时域展开方法 X')Zm+  
为提高计算效率，平面波时域展开方法首先将目标分组，计算组与组之间的相互作用. 然后根据组中心间的距离将组与组之间分为近区组和远区组，其判断标准为 ， ，其中 为组半径. 对于近区组仍然按照MOT方法计算电流向量与矩阵乘积的和，而远区组则采用平面波展开理论将电流向量与矩阵的乘积转化为聚合、转移、配置三个过程以组为单位进行计算. 4[#6<Ixf  
如果将电流密度 展开为下式 .3&a{IxM]  
]TBtLU3  
其中 a,'N
cg  
{(z(NgXG/  
则矢量磁位 的平面波展开表达式可表示为 S2&9#6  
Yi&-m}  
其中时间段 要满足不产生鬼信号的条件 . 从而可以得到当 时散射电场 与检验函数 的内积表达式为 ihiuSF<NaQ  
3p3WDL7  
其中 QGr\I/Y  
hB7pR"P  
下标 时 或 时 如果将球面积分转化为 点的球面采样，那么可以得到可以用数值方 .. %x}&=zx0*1  
E {KS a  

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4. 数值算例及讨论 (R_CUH  
在具体实现PWTD算法时，子信号区间 的选取也是影响该方法精度和速度的重要参数. 由于各个远组对满足不产生鬼信号的时间区间不同，为了更高效的计算，要定义基本子信号区间 [3]，其中 e0f":Vct  
yS[z2:!  
对于其它远场组对，子信号的时间段长度可以选择为基本时间段长度的整数倍即 uAu( +zV2  
iV?` i  
其中 ]alh_U  
\!^i;1h0c3  
以下的数值算例都是以高斯平面波入射，其表达式为 I*D<J$ 9N  
})@tA<+  
其中， ，脉冲宽度 ，时间延迟 . gyi)T?uS)  
首先以一1.5m×1.5m、未知量为280的平板为例，对影响PWTD方法精度和速度的重要参数 和 进行讨论. 2)wAFO6u  
从公式（2）中可以看出，参数 在目标和入射波确定的情况下只与 有关. 图一为 分别取0.8、1.1、1.5时，平板表面（1.35，1.275，0）位置上的感应电流值. 同时表1给出了 分别取0.8、1.1、1.5时，利用PWTD方法计算100个时间步长（时间步长为0.4ns）的感应电流所花费的时间. 从图一可以看出 取0.8时利用PWTD方法计算出的感应电流与用MOT方法计算出的感应电流存在比较大的误差，当 取1.1和1.5时其结果与MOT算法吻合的比较好. 另外，从表1可以看出增大 ，其计算时间会急剧增大. 综合以上两点参数 取值为1.2或1.3时为最佳值. P*pbwV#|  
表1 参数 取不同值计算时间比较 ,b4):{  
     dgS4w@)@V;  
0.8      1.1             1.5 }{ n\tzR  
时间(秒)    256    585      974 0VzXDb>`  
K`h
z t  
nVxq72o@  
图二为参数 分别取2、3、4时，平板表面（1.275，0.525，0）位置上的感应电流值，可以看出当 取2时误差较大，随着 的增大其结果与MOT算法的结果越接近，但是由于基本子信号的长度与 也有关，所以 不能无限增大，在保证 适当取值的情况下应尽量增大 ，一般情况下 取4较为合适. aZ`<PdA  
图三为利用两层PWTD方法计算的3.0m×4.5m、未知量为1241的平板表面（0.2312，0.0755，0）位置上的感应电流与MOT方法计算的该位置上感应电流的对比图，其中两层PWTD方法参数 取值为1.2， 取值为4. 从图中可以看出两个计算结果吻合的比较好，验证了PWTD方法的正确性. %_R$K#T^,  
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参考文献 yeh8z:5Z O  
[1]    B.P.Rynne and P.D.Smith, “Stability of time marching algorthms for the electric field integral equations,” J.Electromagn.Waves Applicat., vol.12, pp.1181-1205,1990; 'pan9PW  
[2]    M.J.Bluck and S.P.Walker, “Time-domain BIE analysis of large three dimensional electromagnetic scattering problems,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.45, pp.894-901, May 1997; XwcMt r*  
[3]    B.Shanker, A. A.Ergin,, K.Aygün and E.Michielssen, Analysis of Transient Electromagnetic Scattering Phenomena Using a  Two-Level Plane Wave Time-Domain Algorithm, IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 48, pp.510-523,2000; ^:qD.h>&  
[4]    B.Shanker, A. A.Ergin,, K.Aygün and E.Michielssen, Analysis of Transient Electromagnetic Scattering from Closed Surfaces Using a Combined Field Integral Equation, IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 48, pp.1064-1074,2000 bxAsV/j  
[5]    S.M.Rao and D.R.Wilton, “Transient scattering by conducting surfaces of arbitrary shape,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.39, pp.56-61, 1991 5k69F  
[6]    J.J.Knab, “Interpolation of bandlimited functions using the approximate prolate series,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol.IT-25, pp.717-720, Nov.1979

学习一下两层平面波的时域方法