[FEM]高阶叠层矢量有限元/边界积分方法及预条件技术

有限元/边界积分, 高阶叠层六面体矢量基函数, RCM, 列选主元ILU预条件 Jl(&!?j  
摘要  本文将基于曲六面体高阶叠层矢量基函数应用到有限元/边界积分方法处理复杂三维电磁散射问题，在减少未知量的同时保证计算精度，进而减少内存需求，提高计算效率。考虑到高阶方法得到的有限元系数矩阵的条件数非常大，本文提出了列选主元的ILU预条件技术来加速GMRES迭代算法对有限元矩阵方程的求解。在构建预条件之前，通过引入RCM算法，对基函数重新排序以减少ILU过程中非零元素填入量。数值结果表明该预条件技术能够非常有效地加速GMRES迭代算法对有限元矩阵方程的求解。 %KsEB*'"  
引言 vx>b^tJKC  
近年来，高阶矢量有限元方法[1-3]，因其采用大尺寸网格剖分，在降低未知量的同时，保证计算精度和效率，从而成为电磁学研究和应用领域的热点。2003年，M. M. Ilic等提出的一种基于曲六面体的高阶叠层矢量基函数,其高精度高效性已通过腔体本征值问题[4]及波导 KI)M JG:t  
不连续性问题[5]进行了验证。由于六面体单元内对场的近似可以是任意阶的叠层旋度共形多项式矢量基函数，与建立在四面体或三棱柱单元上的基函数相比，该基函数无疑提供了更大的自由度。本文，将基于曲六面体的高阶叠层矢量基函数应用到三维电磁散射问题的有限元/边界积分方法中，在降低未知量的同时保证计算精度，进而减少内存需求及计算量，提高计算效率。考虑到高阶有限元方法得到的系数矩阵条件数非常大，为得到精确解，本文提出了列选主元的ILU预条件技术来加速GMRES对有限元矩阵的求解。在构建预条件之前，RCM算法对基函数重新排序以减少ILU分解过程中非零元的填入量。数值结果表明该预条件技术能够非常有效地加速GMRES迭代算法对有限元矩阵方程的求解。                                       ) pzy  
2 FE/BI公式 \:b3~%Fz  
矢量有限元／边界积分方法（FE/BI）是一种求解开域电磁散射问题的有效方法，它的一般原理是引入一个包围目标 （介电常数和磁导率为 ）的虚构边界 ，在这个边界内部的场由泛函公式给出，即： IHB}`e|  
e|)hG8FlF  
(1) 3eb%OEMYk  
其中， 为垂直于表面的外法向单位矢量， ， ， 分别代表自由空间的波数，波阻抗。 GzhYY"iif#  
为了离散泛函 ，目标被剖分成小的六面体网格单元，各单元内的电场可展开为： Oxm>c[R  
       (2) ni.cTOSx  
其中 , , 是待求系数， ， ， 表示基函数多项式的阶数，矢量基函数 ， ， 的定义详见[4]。类似地，可以展开虚构面 上的 。 i6^twK)j  
对 (1) 式应用Rayleigh-Ritz原理，得到矩阵方程：                                   (3) gZN8!#h}B  
其中，{ } 表示区域 内的未知离散电场参量，{ } 和 { } 分别是区域边界 上的位置离散电场和磁场参量。矩阵 ， ， ， ， 都是稀疏矩阵。一般地， ， 是对称阵， 是反对称阵，且 。 zBCtd1Xrni  
边界面上的场可由积分方程给出，这里，我们使用电场积分方程，即： MLXNZd  
               (4) \nXtH}9ZF  
其中， ， 分别表示边界面上的等效电流和等效磁流， 表示入射电场。 {#ZlM  
取 为权函数对 (4) 式进行检验，可得到离散化方程： "
un]Gc   
      (5) } df
W%{  
其中 ,f~J`3(&  
     (6) 2GP=&K/A  
    联立方程 (3)，(5) 得： Luq#9(P  
    (7) IdzxS  
此方程组可由混合算法[6]求解。 |?!~{-o  
3 列选主元ILU预条件 6/5YjO|a  
  在混合算法的每一步迭代过程，都必须通过 { } 来求得 { } ，即满足： &*##bA"!B  
  (8) _GV:HOBi  
为书写方便，上式可写为 p*< 0"0  
                   (9)               WJQvB=D&  
考虑到有限元系数矩阵 的条件数非常地大，列选主元的ILU预条件用来加速GMRES迭代算法对方程 (9) 的求解。列选主元策略，即选择该主元，在保证数值稳定的同时尽可能地减少非零元素填入量。由于ILU分解中非零元素的填入量跟矩阵带宽的直接关系，在构建ILU预条件之前，RCM算法对基函数进行重新排序以使得系数矩阵的非零元在对角线附近，减小矩阵带宽。数学上，可表示为： {x|[p_?  
             (10)           ND'E8Ke pq  
其中， ， 分别表示行变换矩阵和列变换矩阵， 为重新排序后得到的矩阵。考虑到有限元系数矩阵 是对称结构的（ ，则 ），则有 。 X3{G:H0\p  
接着，对 进行ILU分解，即： g2BHHL;`  
               (11)             t)~"4]{*}D  
这里， ， 分别表示为ILU分解上，下三角因式阵， 表示ILU分解过程中的行变换矩阵。 C^O VB-  
最后，方程 (9) 可由如下公式计算： ~5NXd)2+Ks  
  (12) h{CL{>d  
            (13) {+][5<q  
方程 (12) 可由GMRES迭代算法求解。 APvDP?  
4 数值算例 urbp#G/>  
这里，我们考察涂层体的电磁散射问题。金属立方体边长为 ，其大小可在0.5  2.0 取值。外表面涂有厚度 ，介电常数为2.0，磁导率为1.0的介质。随着边长 的增大，基函数均采取三种不同的阶数。图1 (a)为基函数取不同阶时，有限元系数矩阵条件数随未知量的增加而变化的情况。可以看出，基函数阶数相同时，随着未知量数目的增加，有限元系数矩阵的条件数保持在某个量级范围内，即变化不大。而另一方面，在相同未知量的情况下，高阶方法得到的有限元系数矩阵的条件数要远大于低阶方法的，倍数大致为两个量级。相应的计算时间如图1（b）所示。这里，收敛门限取-110dB。 R cAwrsd  
I4'5P}1yp  
(a) "i nd$Z`c  
@3) (BpFe  
(b) N:S/SZI  
图1 基函数取不同阶数时，(a) 有限元系数矩阵的条件数随未知量的变化 (b) 收敛门限取-110dB时，计算时间随未知量的变化 pV9IHs}  
接下来，我们考虑当 的实际情况。针对不同的高阶有限元系数矩阵，GMRES,ILU_GMRES算法计算的归一化的剩余范数曲线对比如图2所示。可以很容易地看出，该预条件技术能够非常有效地加速GMRES迭代算法的收敛过程。特别是高阶情况下，单独使用GMRES迭代算法，方程几乎不收敛，而本方法依然非常有效。表1给出了基函数取不同阶时该涂层体电磁散射的计算参数。不难看出，通过增加基函数的阶数，未知量和计算时间可较大程度地降低。图3为基函数取不同阶数时涂层体双站散射截面。由图可见，各阶计算结果吻合较好。 MX$0Op  
.k#U]M  
图2 针对不同的高阶有限元系数矩阵，GMRES,  ILU_GMRES算法计算的归一化的剩余范数曲线对比 o2nv+fyW  
M||+qd W!  
表1 基函数取不同阶数时，涂层立方体 fa-IhB1!K  
电磁散射的计算参数 1#C4;3i,  
V\>K]mwD  
阶数     +NeOSQSj  
六面体单元数    未知量个数     y`VyQWW  
计算时间（秒） q3mJ782p]  
        有限元    边界积分     <NR#Y%}-V  
1    2648    8454    5808    85 .. tRs [ YK  
q8FTi^=Kb  

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参考文献 dWM'fg  
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[3] R. D. Graglia, D. R. Wilton, A. F. Peterson, I. –L. Gheorma. Higher order interpolatory vector bases on prism elements [J]. IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1998, 46(3): 442-450 vV'EZ?  
[4] M. M. IIic, B. M. Notaros. Higher order hierarchical curved hexahedral vector finite elements for electromagnetic modeling [J]. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2003, 51(3): 1026-1033 .\\DKh%  
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[6] X. Q. Sheng, and E. K. N. Yung. Implementation and experiments of a hybrid algorithm of the MLFMA-enhanced FE-BI method for open-region inhomogeneous electromagnetic problems [J].  IEEE Trans. Antennas Propagat. 2002, Vol. AP-50, No.2: 163-167