[其它]多层快速多极子方法分析微带天线

多层快速多极子方法分析微带天线 a;K:~R+@,  
摘要 论文分析了大尺寸的微带天线的辐射方向图。从混合位积分方程出发，将空域格林函数写成多层快速多极子技术能够适用的形式，从而使得大尺寸的天线问题得以快速并精确地分析。文中还比较了不同迭代方法在分析时的效率。算例表明，FGMRES的效率比其它方法高得多。 o&]qjFo\m  
关键词    微带天线 多层快速多极子 迭代求解方法 P]n '
q  
ABSTRACT   Radiation patterns of microstrip antennas with electrically large size are analyzed. We solve the mixed- potential integral equation and expand the space-domain Green function into the form which can be adopted by the multiple level fast multipole algorithm, then the problems can be solved faster and accurately. The article also compares the efficiency of several different iterative schemes, and the numerical result displays that the FGMRES algorithm is a most efficient one. o#i{/#oF  
Key words  Microstrip antenna, MLFMA, iterative solver rfjQx]3pB  
1    混合位积分方程 Gsb]e  
微带线问题通常采用的空域形式的混合位积分方程[1]，它相比于电场积分方程来说，优点是积分内核的奇异性更弱。便于矩量法的处理。积分方程是根据微带线金属表面要满足的边界条件来建立的。根据边界条件，在微带的金属贴片表面 上满足关系式： D)5wGp  
     (1) PsLCO(26  
其中 表示表面 上的电流产生的散射场， 则表示馈源在表面上产生的电场，对电线问题通常采用无限小的细缝电压馈源馈电，对于散射问题[2]，它通常是平面波源，有如下形式： -LyIu#  
       (2) Dng^4VRd  
表示入射波的传播方向，用 则表示微带结构中，移除上表面金属结构后的反射场，对于上述平面波入射问题，它可写成：  X_lNnk  
  (3) U^xFqJY6  
这里的 和 分别表示微带结构中，移去 时，空气与介质接口处的入射平面波为横电波及横磁波的反射系数,  表示反射波的传播方向。最后可得： bm;4NA?Gg  
        (4) {)mlXo(On  
混合位积分方程可以写为 _3hEYeh  
   (5) SZ_hGD0  
其中， ]Uu/1TT
f  
    (6) /
y}  
     (7) 157X0&EX  
此处 是微带表面上的电流，它是一个待求量。 及 则分别表示磁矢量位与电标量位的格林函数。并矢 有四个分量，但对微带平面问题，只用到 及 分量。这两个分量表达形式一样，用 表示。 及 都可以写成Sommerfeld积分形式 zy|hf<V  
    (8) b}fH$.V@  
其中， 表示谱域格林函数, 表示零阶第二类汉克尔函数。 的形式在文献[3,4]已经给出，它的形式如下， .NKN2  
r$KDNa$/a  
其中， 与 的定义式参见文献[3,4,5]。 ;>~iCFk]?  
2    空域格林函数 wQ5__"D  
对微带问题，积分式(8)没有解析形式的表达式。我们采用二级离散复镜像方法[6]来抽取格林函数的空域闭合形式。为了便于处理矩量法中源点与场点是同一点时的奇异积分抽取，在进行离散复镜像之前，先将 与 中准静态项的含有奇异性的项抽取出来。即用来进行二级离散复镜像的谱域函数是 ^N]*Zf~N?  
      (9) + '`RJ,K+[  
   (10) gnQd#`  
此时，空域格林函数可以写成 *4ID$BmO  
   (11) |s:!LU&OL\  
  (12) }^H_|;e1p  
对积分方程采用迦辽金矩量法离散，采用RWG基函数，可以得到 M0|z^2  
(13) _#+i;$cO-X  
当基函数与测试函数相同时，又称为自作用积分，这时积分算子有奇异性。可以采用抽取奇异项来处理。即将奇异项单独抽取出来，进行解析积分，而去除了奇异性的剩余下来的积分项采用高斯数值积分方法计算。奇异项的处理可以采用文献[6]中的办法解析计算出来。 J8jbtL O'  
3    多层快速多极子技术的应用 yZ`\.GgC^&  
为了采用快速多极子技术，我们需要将格林函数展开成合适的形式[8]。采用二级离散复镜像技术后，格林函数的统一形式可写成。 \m<*3eS  
       (14) WI%,m~  
其中 ,这儿的 及 是利用离散复镜像方法得到的复系数。 PF.HYtZqK  
此时，将整个平面结构被包含在组    内。设 是在组 内的场点， 是在组 内的源点，则 L,i-T:Z~=  
  (15) fRiHs\+  
使用类似自由空间格林函数的计算表达式，当 时，我们可以写出: `6zoZM7?Y  
    (16) [(C lvGx  
其中， :z[SI{Y  
  是截断参数，由于格林函数比起自由空间来，增加了复镜像项，对分组的要求就要严格。为了能使(16)式成立，要求最细层组的单元尺寸要大于复镜像中的最大的 值的 。此时L的选取应该是 ，其中   ， 是组内的基函数间的最大距离，通常取正方形组的对角线长度。 则是 。如此一来，远作用区的矩量法的系数矩阵元素可以用如下快速多极子表达式计算。 vQ;Z 0_  
s[hD9$VB>  
其中， c0@v`-9  
, q bo`E!K  
u>BR WN  
而 。在利用迭代方法求解时，矩阵矢量相乘运算可以用下面的式子快速计算 m*1=-"P  
       TtzB[F  
其中 ,  表示组 的包含自身的近作用组。不难将这一算法推广到多层情况。这样处理后，内存消耗与计算复杂度均从N2降到 量级。 hYLu   
当求解出表面电流密度的系数后，可以利用互易定理计算散射场或辐射场[2]。由互易定理： x-[l`k.V  
     (17) %:NI@59  
其中， 是待求的散射场， 是为了求散射场而引入的在观察点放置的检验电流源， 是此检验电流源在贴片处产生的电场， 是问题中求解出来的表面电流密度。若引入的散射方向无穷远处的电流源为 ?g 3sv5\u  
       (18) uZfo[_g0S  
则此时 等效于方向为 的单位平面波在贴片处(此时将贴片移去)产生的场，它可以使用式(4)来计算，联合式(17)与式(18)可得散射场的表达式： ?IK[]=!  
   (19) ,-):&V:jF  
若取放射平面波的极化方向 ，检验电流源的方向 ，则使用(19)式可以表达出 ，从而可以计算出天线的辐射方向图。 Q]8r72uSk  
4    算例及讨论 #r\uh\Cy  
为了验证上述算法的有效性，我们给出几个有关微带天线的辐射的算例。在分析时采用的计算机配置是Pentium ® 4，主频2.9GHz, 内存512MB，采用双精度型浮点数。采用了常用的共轭梯度CG，双共轭梯度BICG，带重启的一般最小余量法GMRES(m)，灵活的一般最小余量法FGMRES(m,k)等迭代算法[9]，其中m是重启时的迭代步数，k表示内迭代的迭代步数，设置它们的收敛精度是10-3，迭代算法的最大迭代步数控制在2000以内。FGMRES内迭代采用近区作用元素生成的矩阵。 *`kh}  
<*L8kNykK  
图 1 微带贴片天线 单元及其馈线示意图，工作频率9.42GHz，结构中的介电常数为 高度为  天线单元尺寸为宽 ，长 ,馈线的宽度为 ,   , 长度为 ,  , 单元分布参数为 ,   FGC[yz1g:  
(j(6%U  
第一个例子分析的是并联线边馈的 结构的天线阵例子，表 2列出了不同迭代方法计算此问题的所用的矩矢乘数及时间，从中可以看出传统的共轭梯度(CG)迭代算法需要很多的矩矢乘次数，时间相当长。利用求解对称线性方程组的双共轭梯度(BICG)算法则在2000步内无法收敛。还可以看出，使用近区作用元素做内迭代来预条件的FGMRES(10,50)算法的加速效果更加明显。 k20tn ew  
-{dwLl_  
表1 微带贴片天线  单元时MLFMM(4)时所用矩矢乘(MVP)数及时间 p|zW
2L  
迭代 R8HFyP  
解法    CGNE    BICG    GMRES l{<@[foc  
(70)    FGMRES '`S,d[~  
(30,10) >1YJETysO  
MVP    3144    1734    1608    157 8O]$)E  
时间    614s    342s    327s    91s `sSI;+  
迭代 },l3N K  
解法    FGMRES @ Fu|et  
(20,30)    FGMRES (UCWSA7oc  
(15,40)    FGMRES IMj{n.y4  
(10,50)    FGMRES J(0c#}
d  
(5,60) Lr`yl$6  
MVP    43    31    24    25 j*GYYEY  
时间    59s    55s    53s    66s )/UkJ/}j  
=dPrG=A  
图2微带馈 微带天线的电场随 角变化的H面( )分布图 gD-<^Q-  
1c]GS&(RP  
表 2 微带贴片天线 天线单元时用MLFMA(4)时所用矩矢乘数及所耗时间 TV}H  
迭代 s\@
!J.Da  
解法    CG    BICG    GMRES _o;alt  
(70)     .. p?5zwdX+`  
-0Ps.B  

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6    参考文献 ZwM(H[iqL  
[1]    J. R. Mosig, "Arbitrarily shaped microstrip structures and their analysis with a mixed potential integral equation,"[J] IEEE Trans. Microwave Theory Tech, 1988(36): 314-323 HQX.oW  
[2]    F. Ling and J. M. Jin, "Scattering and radiation analysis of microstrip antennas using discrete complex image method and reciprocity theorem,"[J] Microwave and Optical Technology Letters, 1997(16): 212 -216 G0)}?5L1J  
[3]    D. G. Fang, J. J. Yang, and G. Y. Delisle, "Discrete image theory for horizontal electric dipole in a multiplayer medium,"[J] Proc. IEE 1988 (135):297-303 8MU+i%hd  
[4]    方大纲. 天线理论与微带天线[M]. 北京：科学出版社，2006 !cW6dc^  
[5]    佘显烨. 微波集成电路的格林函数法计算[M]. 北京：国防工业出版社，1996 mb,\wZ  
[6]    M. I. Aksun, "A Robust Approach for the Derivation of Closed-Form Green's Functions," [J] IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, 1996(44)::651 - 657 ;?4EVZ#o  
[7]    P. Arcioni, M. Bressan, and L. Perregrini, "On the Evaluation of the Double Surface Integrals Arising in the Application of the Boundary Integral Method to 3-D Problems,"[J] IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1997(45): 436-439 wNtC5  
[8]    J.X. Wan, T.M. Xiang and C.H. Liang, "Fast Multipole Method for Analysis of Large-Scale Microstrip Antennas Arrays,"[J] PIER 2004(49): 239-255 B 1jeIk,  
[9]    Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear systems[M]. PWS Publishing Company,1996

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