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[FDTD]时域有限差分法中引入入射能量方案的分析及比较

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0楼发表于: 2009-06-29 23:22:32

摘要时域有限差分算法计算电磁问题非常简单方便。对于电磁散射问题，目前最流行的方法是将计算区域划分为总场区和散射场区。总场/散射场来源于麦克斯韦方程的线性性质。本文阐述了将入射能量引入总场的方法——一维入射场序列，由于在实际应用中会产生一维入射场和高维情况不匹配的情况，因此要对其进行某些修改；本文对两种修改方案进行了理论上的分析，并进行仿真，从能量泄露方面比较了两者的性能，得出了根据色散匹配关系进行改进的方案较优。
关键词时域有限差分算法，入射场序列，总场，散射场，连接边界
中图分类号 O441.4
Analysis and comparison of introducing incident energy schemes in
Finite Difference Time Domain
YU Shuo-jun，GUO Ai-huang
(School of Electronic and Information Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)
Abstract Finite Difference Time Domain (FDTD) algorithm is a convenient tool for electromagnetic problems. At present, for electromagnetic scattering problems, the most popular method is total-field / scattered field (TF / SF) method. The total-field / scattered field method derives from the linearity of Maxwell’s equations. This paper formulates the one dimensional Incident Field Array method which introduces incident energy into total-field. Some modifications are needed since there would be some mismatch between one dimensional incident field and higher dimensional field in some realistic applications. This paper analyzes two modified schemes of Incident Field Array according to related theory and compares the performances of them in the energy leaking using the simulation results. This paper comes to the conclusion that the modified scheme using dispersion matching conditions is better.
Key words FDTD, IFA, total-field, scattered-field, connecting boundary

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60571049)
联系人：余硕军  Email：magic599@sohu.com
1引言
时域有限差分法（FDTD）于1966年由K. S. Yee提出[1]。这种方法将计算区域划分为一个个包含电磁参数的元胞（Cell），并对电场和磁场分量在时间和空间上交替抽样，从而对麦克斯韦方程组进行差分离散。FDTD方法是直接对麦克斯韦方程组进行离散得到的，适用范围很广。
FDTD主要包括三个方面：差分格式，稳定性条件和吸收边界条件[2]。差分格式就是对麦克斯韦方程组进行离散后的格式；稳定性条件就是为使FDTD法的解收敛，时间步长和空间步长必须满足的条件；吸收边界条件就是在计算区域边界上设置的电磁分量，以使得有限的计算区域能模拟无限大空间。
2总场散射场边界条件
总场散射场边界条件基于麦克斯韦方程的线性性质[3]。它假设总场电场和磁场都能如下表示：
         (1)
         (2)

其中，为入射场值，为已知量；，为散射场值，为未知量。
这样计算区域划分为总场区和散射场区，如图1所示。散射场外面就是截断边界，总场和散射场被连接边界隔开。在总场和散射场内部，FDTD差分格式都是一样的，但是对于连接边界上的点，必须要对其进行特殊的处理。

图1 总场散射场示意图
1.1 IFA TFSF
IFA就是采用一维FDTD随时间逐步推进，计算出入射场量；连接边界上的点则向一维FDTD投影，得到此点对应的入射场值，从而引入平面波[3]。以二维TM波为例，如图2所示，圆点表示的是Ez分量，箭头表示磁场分量，入射角为φ。

图2 IFA示意图
代表入射波的一维FDTD的公式为：
   (3)
  (4)
若连接边界上的某一电场抽样点投影到一维FDTD上，其投影点电场值就可以通过对一维FDTD的抽样点的电场值进行插值得到，那么连接边界上点的入射场值就等于投影点的场值。一维FDTD和高维FDTD同步进行，这样将入射能量引入总场。
由于入射场是通过一维FDTD计算来获得的，如果不对一维FDTD做必要的修改，直接将其代入到高维的计算，将会造成较大的误差[4]。以二维情况为例，图3为100×100网格，散射场为10个网格，总场中无散射体，在散射场中应没有能量，然而可以看到散射场中有能量，出现了能量泄露[5]，这说明IFA需要作某些修改。

图3 IFA未作修改情况
3 两种IFA方案
Taflove等提出的方案是在一维FDTD公式中加入一个数值相速比因子 [3]，其中为入射角为时的FDTD网格相速。公式如下：
(5)
(6)
Guiffaut等提出的方案是使得一维FDTD和高维FDTD数值波数相同，从而数值波速亦相同，色散亦匹配[6]。以二维为例，其色散关系为
  (7)
而对于一维FDTD，其色散关系为
  (8)
要使得二者色散匹配[7]，则有下式
   (9)
通过数值方法，可以将求出，从而使得两者数值波速相同；那么一维FDTD公式为
  (10)
(11)
4 仿真结果及分析
以二维真空环境为例，计算区域为100×100网格，，，，吸收边界条件采用PML，入射波为正弦波，频率为2MHz，电场强度幅度为1V/m，入射角为45°。在500时间步，电场强度结果如下，图4为Taflove方案结果，图5为Guiffaut方案结果。图6和图7表示散射场中某点的电场值（理想情况为0）随时间的变化，可以看出Guiffaut方案的数量级为1e-15，而Taflove方案为1e-3。

图4 Taflove方案结果

图5 Guiffaut方案结果

图6 Taflove方案散射场中某点电场

图7 Guiffaut方案散射场中某点电场
由图4和图5可以看到，两者都能很好地实现入射能量的引入，但是由图6和图7，Guiffaut的方案的能量泄露要小于Taflove的方案，这是因为前者利用了色散匹配关系修改了一维FDTD的步长；也可以将Taflove方案看作是对色散的修改，即将一维FDTD的步长乘了一个小于1的因子。但是即使作了修改，两者色散仍然不同，数值波速亦不同，故能量泄露较大。由此可得出结论，在仿真中，应选用Guiffaut的方案。

参考文献
[1]  葛德彪，闫玉波．电磁波时域有限差分方法[M]．西安：西安电子科技大学出版社，2002．
[2]  高本庆．时域有限差分法FDTD Method[M]．北京：国防工业出版社，1995．
[3]  Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method[M]. London：Artech House，2000．
[4]  John B.Schneider. Kakhkhor Abdijalilov．Analytic Field Propagation TFSF Boundary for FDTD Problems Involving Planar Interfaces:  PECs,  TE, and TM．IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,  v 5,  n 30, 2006, p 454- ..

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