[FDTD]三种常用电磁场数值计算方法原理及应用比较

摘  要：本文介绍了三种主要的电磁场数值计算方法：矩量法、有限元法和时域有限差分法（FDTD）。在给出了这三种方法的基本原理后，对三种方法作了简单比较，并给出了针对两种不同模型应用三种算法的实例以作对比。 Ij>G7Q*d  
关键词：矩量法，有限元法，FDTD法 skm~~JM^  
引言 wrQ02?  
自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出了著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段，围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。特别是上个世纪六十年代以后，伴随着电子计算机技术的飞速发展，大量的电磁场的数值计算方法不断涌现，并得到广泛地应用。电磁场数学模型的分析实际就是求解Maxwell方程组，由于Maxwell方程组是一组微分方程或积分方程，电磁场的主要数值分析方法也分为基于空间离散化的微分方程方法和基于散射体表面或内部离散化的积分方程方法两大类。有限差分法和有限元法都属于微分方程法，而积分方程法则包括直接积分法、等效元法、边界元法和矩量法等。不过各种数值计算方法都有其优缺点和局限性，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，如何充分发挥各种方法的优势，取长补短，将多种方法结合起来解决实际问题，即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。本文对三种常用的电磁计算方法：矩量法、有限元法、时域有限差分（FDTD）法进行了概述和比较，并将其分别应用于舰载短波天线的计算，对比了其计算结果，提出了在计算中应当注意的若干问题。[1] :5sjF:@  
一 、电磁场数值方法的概述 )IVk4|  
1．矩量法 (_%l[:o6  
矩量法是求解微分方程和积分方程的一种重要的数值方法，它在解析方面比较简单，且具有精确、稳定的优点，但需要大量的计算。矩量法在理论上已日臻完善，并广泛的应用于工程之中。特别是在电磁兼容领域，矩量法更显示出其独特的优越性。由于能够准确地计算出所研究物体的电流分布，因而它可方便地估计电磁兼容所关心的噪声电流和噪声电压 [2] 。其基本原理及基本内容如下： [g bFs-B2/  
如果非齐次方程为： pwH*&YU  
L(f)=g                （1.1） h2-v.Tjf  
式中L是线性算子，g为已知函数，f为未知函数，令f在L的定义域被展开为 …  …的组合，则 [uwn\-  
              （1.2） q`'m:{8  
式中 是系数， 被称为展开函数或基函数，如果  且{ } 是一完备集，则式（1.2）是精确的。由于计算机容量的有限性，n必须有限。此时，式（1.2）的右边项是待求函数f的近似解，是有限项之和，将式（1.2）代入式（1.1）中，再应用算子L的线性便可以得到： BG6.,'~7o  
                （1.3） bf=
!\L$  
对此问题若已经规定了一个适当的内积 ，那么，在L的值域内定义一个权函数或检验函数 的集合，并对每个 取式（1.3）的内积，则 Mkh/+f4  
       （1.4） p/yz`m T'w  
式中m=1，2，3，…。此方程组可以写成如下的矩阵形式： Cc
TdLq  
                    （1.5） CNe(]HIOH  
式中 NCdDG  
     （1.6） ~470LgpO1  
如果矩阵 是非奇异性的，其逆矩阵 存在，则 便由下式给出 97[wz C,  
             （1.7） IL`LIJ:O  
f的解由式（1.2）得出，为了简明地表示此结果，规定函数的矩阵为 We++DWp  
         （1.8） <.#jp([W>  
于是，可将f写成 RBz"1hRo`  
          （1.9） QOX'ZAB`  
此解是精确的还是近似的，要取决于基函数 和权函数 的选择。为了使矩阵方程（1.4）的解更好地接近原问题（1.1）的解，{ }和{ }应尽可能的完备。因此{ }和{ }必须各自线性无关。理想的基函数应具备以下特征：（1）可以获得高精度的解；（2）可以容易地计算矩阵单元 ；（3）需要尽可能少的基函数与权函数数目以生成一个小的系数矩阵；（4）矩阵 为良态矩阵。 {)iiu  
然而，理想的基函数及权函数并不存在，且上述要求经常发生矛盾。在电磁场数值分析中，经常采用的基函数与权函数有两类。如果f与g定义在相同的空间内，则我们可以取 = 。这就是著名的Galerkin方法。其优点是：N的数目通常较小；如果算子L自伴，矩阵[L]为对称矩阵；通常能获得较好的精度。但其最大缺点是计算系数矩阵[L]极为困难。另一类常用的方法是点匹配法，将权函数选为冲激函数，可以容易地计算出系数矩阵[L]。但通常需要较多的基函数数目[3]。 s#'Vasu  
2．有限元法 xM=ydRu  
    有限元法是一种近似求解数理边值问题的数值方法。目前已发展成为一种重要的研究电磁问题的数值方法。使用有限元法可以方便地分析具有复杂几何结构和非均匀介质材料的电磁问题，因此，这种方法在各种复杂的静态场问题、导波问题、电磁辐射和散射问题以及电磁兼容性问题中得到了广泛的应用。有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程型数学模型---边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值、离散，化变分问题为普遍多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。 8.G<+
.  
    使用有限元法分析电磁问题的过程可分为以下几个步骤： 1s~rWnhVv  
1.    将待求解的区域用有限个特定的小单元进行离散； /d+v4GIB  
2.    在每一个离散单元内应用标量或矢量插值函数对原问题的等价泛函进行分析； &xt[w>/i  
3.    对各单元的泛函求和，获得关于各个节点上的未知标量位函数值或各单元棱边上矢量基函数展开系数的总的泛函的多元函数形式，利用泛函驻定条件建立有限元线性代数方程组； ;m7~!m)  
4.    求解线性代数方程组得出各节点上标量位函数值或矢量基函数的展开系数。 7H*,HZc@=  
换言之，该方法用许多子域来代表整个连续区域，在子域中未知函数用带有未知系数的简单插值函数来表示，从而将无限个自由度的原边值问题转化为有限个自由度的问题，即整个系统的解用有限数目的未知系数近似，然后用里兹变分法或伽辽金方法得到一组代数方程，最后通过求解这组方程得到原边值问题的近似解。 Vm?#~}T  
具体来说，原边值问题可表示为： b# Dd  
  （1.10） r$v\\^?2  
其中，α、β是材料和位置的函数，Ω是计算区域， 和 是计算边界。通过有限元法求解一般要经过如下步骤： ?V}ub>J/=  
1）    给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。等价于上述边值问题的变分问题可表示为： g(auB/0s  
        （1.11） ow  
2）    分场域Ω，其典型的剖分单元有三角形、角锥形、四边形、四面体等，并选出相应的插值函数。在任意单元中有： %"cOX  
   （1.12） b*W,8HF4,  
3）    将变分问题离散化为一种多元函数的极值问题，得到如下一组代数方程组： Oq$-*N  
       （1.13） %K+hG=3O  
其中， 为系数（刚度）矩阵， 为离散点的插值。 ,
PoG=W  
4）    选择合适的代数解法求解式（1.13），即可得到待求边值问题的数值解  [3]。 u -)ED  
3．时域有限差分法 QLU <%w:B  
以上两种算法是基于频域考虑的，而采用时域算法可进一步提高计算的精度。时域有限差分法（FDTD）由于所需计算内存少、能模拟复杂的介质结构等诸多优点，已成为研究电磁问题的主要数值方法之一。其原理是，直接将时域Maxwell方程组的两个旋度方程中关于空间变量和时间变量的偏导数用差商近似，从而转换为离散网格节点上的时域有限差分方程。加入时域脉冲激励后，在时间上迭代就可以直观地模拟出脉冲在求解区域上传播,反射和散射的过程,进而采用FFT将时域响应变换到频域就可获得所希望的各种电参数。如无源电路的散射参数、天线的辐射方向图和输入阻抗、散射体的雷达散射截面（RCS）等[2]。 q:nUn?zB  
FDTD方法的求解过程如下: 3ZC@q #R A  
首先将计算空间离散,与前面几种方法不同的是,电场和磁场的六个分量有不同的离散点,FDTD 空间网格单元的划分如图1 所示: ,Ne9x\F  
可以看出,每一电场分量由四个磁场分量环绕,每一磁场分量亦由四个电场分量环绕,这种划分方法不仅自然满足Maxwell 旋度方程的结构形式,适于旋度方程在空间进行差分运算,而且能适当地描述电磁波在空间的传播过程。 ?2_h.  
其次将Maxwell 旋度方程在上述空间网格和时间上进行离散：   y #C9@C  
                    (1.14) WJxcJE  
其中:Δx ,Δy ,Δz 分别是x, y,z 方向上的空间网格长度,Δt 是时间步长。用如下的差分算法来代替微分运算：   A;5_/ 2  
{Q
[ G/=mx  
将电、磁场各分量进行离散,并用上式整理Maxwell 方程得到: M@l|n  
   |)v}\-\#  
     同理可得到其它分量的表达式。由上面的迭代公式可见,每一网格点上电场(磁场) 分量的新值仅仅依赖于该点上前一时间步的值及其周围邻点上前半个时间步磁场(电场) 的值，一次迭代相当于一个时间步，每次分别计算E 和H , 若依次计算E 和H , 则上次计算的E 相当于上一个时间步的值, 上次计算的H 相当于前半个时间步的值,称为“蛙跳式”的计算。只要在初始时刻入射波源的位置及量值已知，则空间各点的场量可以随时间步的增长一步一步地算出，不需要求解矩阵方程[3,4]。 fK~8h  
二、三种数值方法应用的比较： *o5[P\'6  
矩量法将连续方程离散化为代数方程组,既适用于求解微分方程,又适用于求解积分方程。他的求解过程简单,求解步骤统一,应用起来比较方便。然而它需要一定的数学技巧,如离散化的程度、基函数与权函数的选取,矩阵求解过程等。另外必须指出的是,矩量法可以达到所需要的精确度、解析部分简单,可计算量很大,即使用高速大容量计算机,计算任务也很繁。另外矩量法在求解某些问题,如求解波导本征模时存在伪解问题,文献[5,6] 对此进行了研究。矩量法在天线分析和电磁场散射问题中有比较广泛地应用,已成功用于天线和天线阵的辐射、散射问题、微带和有耗结构分析、非均匀地球上的传播及人体中电磁吸收等。 7O8 @T-f+2  
有限元法的优点是适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题。这种方法的各个环节可以实现标准化,得到通用的计算程序,而且有较高的计算精度。但是这种方法的计算程序复杂冗长,由于他是区域性解法, 分割的元素数和节点数较多,导致需要的初始数据复杂繁多,最终得到的方程组的元数很大,这使得计算时间长,而且对计算机本身的存储也提出了要求。同时,多年来人们一直在研究目标的离散这个问题,试图找到一种有效、方便的离散方法,但由于电磁场领域的特殊性,这个问题一直没有得到很好的解决。问题的关键在于一方面对复杂的结构,一般的剖分方法难于适用;另一方面,由于剖分的疏密与最终所形成的系数矩阵的存贮量密切相关,因而人们采用了许多方法来减少存储量,如多重网格法,但这些方法的实现较为困难。网格剖分与加密是有限元方法发展的瓶颈之一,采用自适应网格剖分和加密技术相对来说可以较好地解决这一问题。自适应网格剖分根据对场量分布求解后的结果对网格进行增加剖分密度的调整,在网格密集区采用高阶插值函数,以进一步提高精度,在场域分布变化剧烈区域,进行多次加密。 bo/<3gR  
FDTD 用有限差分式替代时域麦克斯韦旋度方程中的微分式,得到关于场分量的有限差分式,针对不同的研究对象, 可在不同的坐标系中建模,因而具有这几个优点,容易对复杂媒体建模,通过一次时域分析计算,借助傅里叶变换可以得到整个同带范围内的频率响应;能够实时在现场的空间分布,精确模拟各种辐射体和散射体的辐射特性和散射特性; 计算时间短。但是FDTD 分析方法由于受到计算机存储容量的限制,其网格空间不能无限制的增加,造成FDTD 方法不能适用于较大尺寸,也不能适用于细薄结构的媒质。因为这种细薄结构的最小尺寸比FDTD 网格尺寸小很多,若用网格拟和这类细薄结构只能减小网格尺寸,而这必然导致计算机存储容量的加大。因此需要将FDTD 与其他技术相结合, o~9sO=-O  
目前这种技术正蓬勃发展,如时域积分方程/ FDTD 的方法, TD/ MOM 等。FDTD 的应用范围也很广阔,诸如手持机辐射、天线、不同建筑物结构室内的电磁干扰特性研究、微带线等[7,8] 。 W[k rq_c-  
三、三种数值方法的应用实例： s$zm)y5  
    我们先以简单的锥形喇叭天线为例，设激励为带50Ohm电源阻抗的同轴馈电电压源，电压幅值为1V，波形为9.3GHz的正弦波。天线模型如图2所示。 {Mj- $G"  
QOgGL1)7-  
图2 锥形喇叭天线几何模型 }Ml BmD  
运用有限元法、FDTD法、矩量法的相应软件在计算机上对该天线进行建模合计算，所得的结果几乎完全一致。 JB%_&gX)v  
<2oMk#Ng^  
图3 远场模式的极化图 VFM!K$_  
得到的锥形喇叭天线远场模式的极化图如图3所示。 GGo~39G  
在以一个简化的舰船模型为例，模型总长度为70米，最大高度为8米，天线取为鞭天线，高10米，位于距船尾25米，距右舷1米处。模型示意图如图4所示。 G)^/#d#&  
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图4 简化舰船模型示意图 !vSq?!y6*P  
经过计算机计算试验，由于该模型尺寸较大，使用有限元法和FDTD法进行计算时，计算过程中途会自动终止，不能得到计算结果。而矩量法则可以完成计算。 bHcBjk.\  
在x=-1m,z=6m处，电场沿y轴的分布如图2所示。 !Pz#czo  
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图4  y轴上的电场分布图 :{^~&
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作为微分方程法，有限元法和FDTD方法均具有下列优缺点： w#hg_RK(Jr  
优点－适用于高度非均匀介质 R|^bZf^  
－适用于具有复杂电小精细结构的导体和薄板 Wuo:PX'/9  
－适用于时域问题, 需要考虑非线性介质材料的问题 :Tv>)N  
可能的缺点－电磁场存在于无限远处，理论上要求对整个无限传播空间离散 ).`v&-cK4E  
－可以用截断边界条件来处理，但是存在截断误差 =>lX brJ  
－目前处理开域问题的最好边界条件是理想匹配层(PML)，但是具体的参数设置需要 .. BW6Ox
=sr<  
g-jg;Ri  

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矩量法将连续方程离散化为代数方程组,既适用于求解微分方程,又适用于求解积分方程。他的求解过程简单,求解步骤统一,应用起来比较方便。然而它需要一定的数学技巧,如离散化的程度、基函数与权函数的选取,矩阵求解过程等。另外必须指出的是,矩量法可以达到所需要的精确度、解析部分简单,可计算量很大,即使用高速大容量计算机,计算任务也很繁。另外矩量法在求解某些问题,如求解波导本征模时存在伪解问题,文献[5,6] 对此进行了研究。矩量法在天线分析和电磁场散射问题中有比较广泛地应用,已成功用于天线和天线阵的辐射、散射问题、微带和有耗结构分析、非均匀地球上的传播及人体中电磁吸收等。

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