[转载]傅里叶变换,拉氏变换的物理意义是什么

傅立叶变换的物理意义是将一个在时间域当中的信号所包含的所有频率分量（主要指其各频率分量的幅度和相位）用一个以角频率为自变量的函数表示出来，称其频谱。 /w_Sc{  
但是并不是所有的信号都能取傅氏变换（例如当该信号不满足狄利特里条件时），所以在傅氏变换的积分函数中的积分因子上乘以一个exp(a),使之满足可积条件，是为拉氏变换。 qk~QcVg  
傅里叶变换是拉氏变换的特例，相当于S平面虚轴上的拉氏变换 [jDO8n/  
一个信号的抽样取拉氏变换与相应的离散信号与Z变换的作用是等效的。Z变换与拉氏变换之间是一对多的映射关系，Z平面上的单位圆对应于S平面上的虚轴；Z平面上的单位圆内部分对应于S平面上的左半平面；此外，S平面是直角坐标平面，Z平面则是极坐标平面。 EK@yzJ%  
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　　即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 H&mw!=FV0  
　　设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog(2)(N)次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。

平时还真没去细究其物理意义！！！

以前还真不知道，学习了

傅立叶变换不仅仅限于信号分析（时域－频域），对空间坐标的傅立叶变换就是本征模分析（空域－谱域）。 <MT_zET  
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数学意义上不知能否这样理解：将某个定义域上的函数（算子），用其定义域里面的一组完备基函数进行展开，其思想与傅立叶变换同源。 0/{-X[z  
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物理意义上，时域-频域变换就是频谱分析法，空域-谱域变换就是模式分析法。 dE/Vl/:  
/A|ofAr)  
拉普拉斯变换是复数域的积分变换，从一个数学不太好的工程师的角度来看，我觉得它是傅氏变换在复数域里面的推广。 @iC
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V)!Oss;i  
本人做工程出身的，随便扯扯，看看对不对。

“将某个定义域上的函数（算子），用其定义域里面的一组完备基函数进行展开，其思想与傅立叶变换同源。” ,!sAr;Rk`  
不太清楚这样认为对不对。用其定义域里面的一组完备基函数进行展开，一般指未知量的近似插值。

我是这样理解的： /91H!s  
求解矩形波导的问题时，把波函数在直角坐标下展开成三角级数（本征模式）叠加的形式，这是一种Fourier级数，所取的三角函数正好是[0,a]或[0,b]定义域中的一族完备基函数； B<:i[~`7t  
求解圆波导的问题时，把波函数在圆柱坐标下展开成Bessel函数（矢径方向的本征函数）和谐函数（角度方向本征函数）乘积叠加的级数和，得到的是Bessel-Fourier级数（同样满足完备性）。 }c&Zv#iO6  
所以我觉得，“将某个定义域上的函数（算子），用其定义域里面的一组完备基函数进行展开，其思想与傅立叶变换同源。” H26j]kY  
只是不严格的类比，欢迎批评。

傅里叶变换确实有比较明确的物理意义，但拉普拉斯变换更多的像是一种数学工具 }Qg9l|  
另回复楼上的： hiP^*5h  
求解矩形波导和圆波导的时候，所得出的三角函数或谐函数都是根据场方程算出来的，并不是随意展开的，“将某个定义域上的函数（算子），用其定义域里面的一组完备基函数进行展开，其思想与傅立叶变换同源”，这个赞同，这也是学界很多领域一个基本的思想吧

学习了，还得看书啊！

物理意义确实很重要的！