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[转载]傅里叶变换思想

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0楼发表于: 2009-02-28 23:11:09

傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

傅立叶变换基础:
1. 简谐运动：是最简单的周期运动，可以由正弦函数y=Asin(ωt+φ)和余弦函数y=Acos(ωt+θ)表示。其中y称为振动的位移，A叫做振幅，ωt+φ或ωt+θ叫做位相，φ和θ叫初位相。T=2pi/ω叫做简谐振动的周期，f＝1/T叫做频率。
2. 简谐振动的的合成：任何复杂的周期性振动都可以看成是由频率成整数倍的简谐振动合成的简谐振动合成的。其中频率最低的振动称为基波，基波的周期和频率与合振动相同。
3. 时域和频域：以时间t为自变量，以位移x为因变量的函数称为时域函数，即振动波形；以频率为横坐标，位移为纵坐标的坐标系叫做频域，在其上所描述的函数称为频率函数。
4. 傅立叶变换：将时域变为频域的变换，称之为傅立叶正变换；而将频域变为时域的变换，称之为傅立 ..

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