[扫盲贴]阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图: 基本原理---申请加精

本文利用史密斯圆图作为RF阻抗匹配的设计指南。文中给出了反射系数、阻抗和导纳的作图范例，并用作图法设计了一个频率为60MHz的匹配网络。 zBf-8]"^  
#n\C |  
在处理RF系统的实际应用问题时，总会遇到一些非常困难的工作，对各部分级联电路的不同阻抗进行匹配就是其中之一。一般情况下，需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO输出与混频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。 O$`UCq  
mxSKG> O  
在高频端，寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时，理论计算和仿真已经远远不能满足要求，为了得到适当的最终结果，还必须考虑在实验室中进行的RF测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。 2WM\elnA  
+)nT|w45  
有很多种阻抗匹配的方法，包括: vtJV"h?e"3  
Q Z8QQ`*S  
计算机仿真: 由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起来比较复杂。设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。设计人员还需要具有从大量的输出结果中找到有用数据的技能。另外，除非计算机是专门为这个用途制造的，否则电路仿真软件不可能预装在计算机上。 (UNtRz'=;  
手工计算: 这是一种极其繁琐的方法，因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、并且被处理的数据多为复数。 f]~c)P Cs  
经验: 只有在RF领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之，它只适合于资深的专家。 nD"~?*Lt  
史密斯圆图: 本文要重点讨论的内容。 i54md$Q^  
+w|9x.&W  
本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识，并且总结它在实际中的应用方法。讨论的主题包括参数的实际范例，比如找出匹配网络元件的数值。当然，史密斯圆图不仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络，还能帮助设计者优化噪声系数，确定品质因数的影响以及进行稳定性分析。 1-I Swd'u  
`P+(&taT  
图1. 阻抗和史密斯圆图基础 3HyhEVR-#~  
VVWM9x  

描述:图1. 阻抗和史密斯圆图基础

图片:sms1.gif

RaSz>-3d  
~#:e*:ro  
基础知识 (B>Zaro#  
u%O-;>J  
在介绍史密斯圆图的使用之前，最好回顾一下RF环境下(大于100MHz) IC连线的电磁波传播现象。这对RS-485传输线、PA和天线之间的连接、LNA和下变频器/混频器之间的连接等应用都是有效的。 E& 36H  
~$O1`IT  
大家都知道，要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，即： cd;NpN  
Rs + jXs = RL - jXL z/&;{J  
PBks` |+  
BdbJ< Is  
图2. 表 .. @E`?<|B}  
J3S&3+2G  

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史密斯圆图 D!E 9@*Lf  
`::(jW.KO  
史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。 U@t?jTMBkO  
eq 1 4  
史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号?表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即s11。 `q{'_\gVt(  
n YMf[kW  
史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数L，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时，L更加有用。 ^)P5(fJ  
BHBT=,sI  
我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比: xbH!:R;  
O}iKPY8K  
图3. 负载阻抗 Ue\oIi  

描述:图3. 负载阻抗

图片:sms3.gif

2dJ)4  
{^O/MMB\\%  
负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为： c68$pgG  

图片:sms4.gif

g8qAJ4  
由于阻抗是复数，反射系数也是复数。
d~b
H!P  
为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Zo (特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50、75、100和600。于是我们可以定义归一化的负载阻抗： X|lmH{k
f  

图片:sms5.gif

T7Qd I[K%b  
据此，将反射系数的公式重新写为： :bF2b..XOu  

图片:sms6.gif

zSv
Hvs  
从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。 exMPw;8  
DdZ_2B2  
为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。 ghd[G}  
g:6}zHK  
首先，由方程2.3求解出: ]` Gz_e  

图片:sms7.gif

C]cT*B^  
i2R]lE8  
并且 Q_h+r!b  

图片:sms8.gif

8\t7}8f  
令等式2.5的实部和虚部相等，得到两个独立的关系式： NTX+7<  

图片:sms9.gif

]be2jQx3  
,?N_67  
重新整理等式2.6，经过等式2.8至2.13得到最终的方程2.14。这个方程是在复平面(r, i)上、圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2，它以(r/r+1, 0)为圆心，半径为1/1+r.

图片:sms10.gif

[&}<!:9'  
+q?0A^C>  

图片:sms11.gif

yT9RNo/w  
%1d6j<7  
圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如，R＝1的圆，以(0.5, 0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配）。以(0，0)为圆心、半径为1的圆代表负载短路。负载开路时，圆退化为一个点(以1，0为圆心，半径为零)。与此对应的是最大的反射系数1，即所有的入射波都被反射回来。 ^>}[[:(6/  
]]QCJf@p  
在作史密斯圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面： ,7nb;$]  
M]zNW{Xt  
所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1, 0)。 ZjbG&oc  
代表0、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。 ;? QAPTz  
无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0) #UnO~IE.m$  
实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。 Jt^JE{m9%  
选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。

作图 B?Skw{&  
g!
ww;_  
经过等式2.15至2.18的变换，2.7式可以推导出另一个参数方程，方程2.19。 *_wBV M=2  
!)34tu2  

图片:31.gif

wP*Z/}Uum+  
同样，2.19也是在复平面(r, i)上的圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圆心为(1, 1/x)，半径1/x。 Q2Rj0E`  
H;1}Nvvd  
更多细节参见下图 lH.2H  

图片:32.gif

VWa(@A  
圆周上的点表示具有相同虚部x的阻抗。例如，x=1的圆以(1, 1)为圆心，半径为1。所有的圆(x为常数)都包括点(1, 0)。与实部圆周不同的是，x既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上1点的垂直线上。

为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为r + jx，只需要找到对应于r和x的两个圆周的交点就可以得到相应的反射系数。

可互换性 TtzB[F  
上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的r和x的值。过程如下： {0?

76|  
9I,Trk@&  
确定阻抗在史密斯圆图上的对应点 ?g 3sv5\u  
找到与此阻抗对应的反射系数   j'Fni4;  
已知特性阻抗和，找出阻抗 R#0UwRjeF  
将阻抗转换为导纳 ||hd(_W8  
找出等效的阻抗 %EuSP0  
找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件 )

因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例： E6XDn`:  
zcGmru|k  
例: 已知特性阻抗为50，负载阻抗如下： g8kS}7/  
c^3,e/H  
Z1 = 100 + j50 Z2 = 75 -j100 Z3 = j200 Z4 = 150 jl9hFubwW  
Z5 = (开路) Z6 = 0 (短路) Z7 = 50 Z8 = 184 -j900 g-?@a  
o, PpD,,  
对上面的值进行归一化并标示在圆图中 4K5  
x n?$@  
z1 = 2 + j z2 = 1.5 -j2 z3 = j4 z4 = 3 T5|e\<l  
z5 = 8 z6 = 0 z7 = 1 z8 = 3.68 -j18S F/V-@SF  
2ci[L:U  
史密斯圆图上的点 R"W5R-  

描述:史密斯圆图上的点

图片:51.gif

2ca#@??R  
现在可以通过图5的圆图直接解出反射系数。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部r和虚部 xIA]5@;a  
T[Lz4;TRk5  
该范例中可能存在八种情况，在 所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数： z;DNl#|!L  
0RgE~x!hI  
L1 = 0.4 + 0.2j   L 2 = 0.51 - 0.4j     L3 = 0.875 + 0.48j       L4 = 0.5 GHY+q{'#V_  
L5 = 1             L6 = -1             L7 = 0                   L8 = 0.96 - 0.1j [4w*<({*  
从X-Y轴直接读出反射系数的实部和虚部 (1 (~r"4I  

描述:从X-Y轴直接读出反射系数的实部和虚部

图片:52.gif

史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图，就可以用它分析串联和并联情况下的参数。可以添加新的串联元件，确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到它们相应的数值即可。然而，增加并联元件时分析过程就不是这么简单了，需要考虑其它的参数。通常，利用导纳更容易处理并联元件。 ID4
3s9  
K f/[Edn  
我们知道，根据定义Y = 1/Z，Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧或者-1 (早些时候导纳的单位是西门子或S)。并且，如果Z是复数，则Y也一定是复数。
Yy88 5  
9a=Ll]=\  
所以Y = G + jB (2.20),其中G叫作元件的“电导”，B称“电纳”。在演算的时候应该小心谨慎，按照似乎合乎逻辑的假设，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而实际情况并非如此，这样计算会导致结果错误。 *{3d+j/?/  
r|EN5  
用导纳表示时，第一件要做的事是归一化， y = Y/Yo，得出 y = g + jb。但是如何计算反射系数呢？通过下面的式子进行推导： X>8,C^~$1  
o5bp~.m<  

图片:61.gif

8 MQq3  
结果是G的表达式符号与z相反，并有(y) = -(z). bZNqv-5 4h  
ZU73UL  
如果知道z，就能通过将的符号取反找到一个与(0，0)的距离相等但在反方向的点。围绕原点旋转180°可以得到同样的结果 RNi%6A1  

描述:180°度旋转后的结果

图片:62.gif

q2*A'C  
当然，表面上看新的点好像是一个不同的阻抗，实际上Z和1/Z表示的是同一个元件。(在史密斯圆图上，不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数，依次类推)出现这种情况的原因是我们的图形本身是一个阻抗图，而新的点代表的是一个导纳。因此在圆图上读出的数值单位是姆欧。 5E\.YqdV  
m,lZy#02s3  
尽管用这种方法就可以进行转换，但是在解决很多并联元件电路的问题时仍不适用。

在前面的讨论中，我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以复平面原点为中心旋转180°后得到与之对应的导纳点。于是，将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。这种方法十分方便，它使我们不用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆)自然出现在点(-1, 0)。使用导纳圆图，使得添加并联元件变得很容易。在数学上，导纳圆图由下面的公式构造： i=/hLE8T*  
;'Hu75ymo  

图片:71.gif

r\QV%09R  
解这个方程  j=pg5T  

图片:72.gif

v#gXXO[P1  
接下来，令方程3.3的实部和虚部相等，我们得到两个新的独立的关系： ^P{y^@XI  

图片:73.gif

J#Q>dC7  
从等式3.4，我们可以推导出下面的式子： kB?/_a`]  

图片:74.gif

E-1u_7  
它也是复平面 (r, i)上圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2 (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)为圆心，半径为1/(1+g)。 T 9`AL  
H*G(`Zl}  
从等式3.5，我们可以推导出下面的式子： ~0+<-T  
.<vXj QE  

图片:75.gif

kxJs4BY
0  
同样得到(x-a)2 + (y-b)2 = R2型的参数方程(方程3.17)。

当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时，可以使用同一个史密斯圆图，在需要进行从z到y或从y到z的转换时将图形旋转。 hR0a
5  
GTfM
*b  
考虑图8所示网络(其中的元件以Zo=50进行了归一化)。串联电抗(x)对电感元件而言为正数，对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数，对电感元件而言为负数 C4PT(cezR  
图8. 一个多元件电路 )YwEl72c  

图片:81.gif

F-o?tU  
r{d@74  
这个电路需要进行简化(见图9)。从最右边开始，有一个电阻和一个电感，数值都是1，我们可以在r＝1的圆周和I＝1的圆周的交点处得到一个串联等效点，即点A。下一个元件是并联元件，我们转到导纳圆图(将整个平面旋转180°)，此时需要将前面的那个点变成导纳，记为A'。现在我们将平面旋转180°，于是我们在导纳模式下加入并联元件，沿着电导圆逆时针方向(负值)移动距离0.3，得到点B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到阻抗圆图。 Ebj0 {ZL  
 ? .SiT5  
图9. 将图8网络中的元件拆开进行分析 />I5,D'h  

图片:82.gif

P}a$#a'!  
3)CIqN  
在返回阻抗圆图之前，还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳)，变换之后得到的点记为B'，用上述方法，将圆图旋转180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离1.4得到点C就增加了一个串联元件，注意是逆时针移动(负值)。进行同样的操作可增加下一个元件(进行平面旋转变换到导纳)，沿着等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这个点记为D。最后，我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的值，z，位于0.2电阻圆和0.5电抗圆的交点。至此，得出z＝0.2 + j0.5。如果系统的特性阻抗是50,有 Z = 10 + j25 (见图10)。 TlyBpG=p  

图片:83.gif

F~E)w5?\O  
v4E=)?  
图10. 在史密斯圆图上画出的网络元件

史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的过程。此时，两端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的，如图12所示。我们的目标是在两者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。 #vy[v22  
+dq2}gM  
图11. 阻抗已知而元件未知的典型电路 '5T
:*Yh  

图片:111.gif

>c:nr&yP  
#X!seQ7a  
初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹配网络具有类似的效果，而且还需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、品质因数和有限的可选元件)。 A~?)g!tS<  
BgCEv"G5  
实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元件、直到得到我们想要的阻抗。从图形上看，就是找到一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样，说明这种方法的最好办法是给出一个实例。 d@Bd*iI<  
z:dW'U?1  
我们的目标是在60MHz工作频率下匹配源阻抗(ZS)和负载阻抗(ZL) (见图12)。网络结构已经确定为低通，L型(也可以把问题看作是如何使负载转变成数值等于ZS的阻抗，即ZS复共轭)。下面是解的过程： ~k 6V?z}  
TDPQ+Kg_  
图12. 图11的网络，将其对应的点画在史密斯圆图上 }\N ~%?6D  

图片:112.gif

xQ?$H?5B<  
5 8U
[IGs(  
要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗，选择一个与负载/信号源的数值在同一量级的阻抗值。假设 Zo为50。于是 zS = 0.5 -j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 -j0.5。 #
gf0*:p  
cqZ
lpm$c  
下一步，在图上标出这两个点，A代表zL，D代表Z*S r`)'Kd  
\:n<&<aVSr  
然后判别与负载连接的第一个元件(并联电容)，先把zL转化为导纳，得到点A'。 $V<fJpA  
<Z~Nz>'r  
确定连接电容C后下一个点出现在圆弧上的位置。由于不知道C的值，所以我们不知道具体的位置，然而我们确实知道移动的方向。并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向移动、直到找到对应的数值，得到点B (导纳)。下一个元件是串联元件，所以必需把B转换到阻抗平面上去，得到B'。B'必需和D位于同一个电阻圆上。从图形上看，从A'到D只有一条路径，但是如果要经过中间的B点(也就是B')，就需要经过多次的尝试和检验。在找到点B和B'后，我们就能够测量A'到B和B'到D的弧长，前者就是C的归一化电纳值，后者为L的归一化电抗值。A'到B的弧长为b = 0.78，则B = 0.78 x Yo = 0.0156姆欧。因为C = B,所以 C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pF。B到D的弧长为 x = 1.2,于是 X = 1.2 × Zo = 60.由L = X, 得 L = X/ = X/(2 f) = 60/(2 607) = 159nH。