[其它]基于谱域球谐函数展开的多层快速多极子算法

电磁散射，多层快速多极子算法，谱域积分，球谐函数展开 +/2:  
本文介绍了基于谱域球谐函数展开的多层快速多极子算法，该方法从根本上改变了传统的多层快速多极子算法实现矩矢相乘的谱域积分所沿用的存储及计算模式。通过处理三维金属体的散射问题，本文对算法性能做出了全面评估，得出该算法具有内存占用少﹑迭代速度快的优点，数值结果显示了本文方法的高效性。 vKNxL^x  
;#6j9M0  
引言 p|R]/C0f  
20世纪90年代以来，多层快速多极子算法（multilevel fast multipole algorithm,MLFMA）已经被广泛地应用于复杂目标电磁散射和辐射问题[1]-[3]。尽管该法已经能够在单机（1Gb内存）上成功求解未知量在几十万量级的三维电大尺寸目标电磁散射，但不断深入发展的工程应用迫切需要更节约内存更高效的快速方法。快速多极子方法的关键技术是格林函数的平面波展开，将格林函数中的场、源分离，而矩矢相乘则最终转化为一个谱域（单位球面）上的积分。这就使得传统的MLFMA在迭代求解前必须预先存储聚合因子和配置因子的各谱域分量，这项内存消耗与谱域积分采样率直接相关。为了达到一定的计算精度，谱域积分样本点数不能低于 [4]，L为转移因子的无穷截断，即通常所说的多极子模式数。这样一来，存储上述谱域分量需耗费的内存达 ，其中N为未知量数目。Eibert提出的谱域积分球谐函数展开下的多层快速多极子算法（MLFMA with spherical harmonics expansion of the k-space integrals,SE-MLFMA）[5]将聚合因子和配置转移因子用球谐函数展开，使得迭代前仅需对它们的球谐展开系数及对应的球谐函数谱分量进行存储，大大降低了计算所需的存储量，同时也改善了矩阵迭代求解的速度。然而，该法能够高效地成功实施依赖的是聚合因子和配置因子球谐函数展开的合理的无穷截断，截断得太早无法保障计算的精度，太晚则丧失了算法改良的优越性。 s&Qil07Vl  
本文我们成功将基于谱域积分球谐函数展开下的多层快速多极子方法应用于三维金属散射体，并对聚合因子和配置因子球谐函数展开的无穷截断数进行了对比研究，得到了有效的结论； 同时，我们还通过理论分析及数值计算结果对该算法应用于电场积分方程（EFIE）和磁场积分方程（CFIE）的性能进行了评估。 K2t|d[r  
2 基于谱域球谐函数展开的多层快速多极子算法（SE-MLFMA） k0!D9tk  
2.1 算法原理 wq`\p['Q,  
用矩量法将积分方程离散后得到线性方程组为[6]： %~YQlN  
       (1) RaY=~g  
以电场积分方程伴随伽略金法为例，迭代法求解上述方程，传统的快速多极子方法得到的上述表达式中非近区阻抗元素为： LQ=Fck~[r  
                                                 =/F\_/Xw  
                                    （2） 8:4`q9  
式中被积角谱函数 px.]m-  
       （3）                                    (4) i@`T_&6l  
其中 为基权函数； , 分别表示场点和源点的矢径； , 分别表示场点和源点所在组中心的矢径﹡为共轭符号；S指金属散射体表面； 为第一类汉克尔函数。 h*?/[XY  
然后将角谱函数(3)和 分别用球谐函数展开 sK`pV8&xq  
         （5）                                     Y%]&h#F  
      (6)                               展开系数        (7)                                     &\s>PvnquX  
       (8)                               E9n7P'8  
为使得数值求解成为可能，对(6)式中的无穷求和截断至P，即： AC/82$  
&|) (lX  
                                     (9) kR|(hA,$N  
再将(6),(9)式代入(2)式，由于球谐函数的正交完备归一性，(2)式转化为： DSx D531[A  
             (10) NpF}~$2  
则矩矢相乘最终表达式为： Gz
u $  
    (11)                                 6d|%8.q1  
其中， j8#B  
（12） ]mmL8%B@_  
由式（7）可得，而 这个谱域积分用快速多极子或多层快速多极子方法来计算即可。 pM7xnL4  
2.2 计算效率 0i65.4sK  
通过（11）和（12）式，不难看出SE-MLFMA在迭代前期必须先计算并存储球谐展开系数  (i=1,…,N)，而这一项计算开销是传统的MLFMA所没有的，但是在矩矢相乘的计算消耗上，SE-MLFMA比传统的MLFMA要节约很多。二者之间的差别体现在非附近组贡献的计算上。表1显示了理想分组情况下的快速多极子方法与基于谱域球谐函数展开下的快速多极子方法（fast multipole method, FMM）矩矢相乘计算量的对比。 oi}\;TG  
表1  （M为每组子散射体个数， 为球谐函数个数）
+Ek('KOF  
FMM    SE-FMM OL)M`eVQ'  
附近组     [P"R+$"   
附近组     3ZU<u;  
L~xzfO  
聚合     Z )dz  
内向波球谐展开系数     L[9]Ez$2+  
~`x<;Ts  
转移     }9ZcO\M  
     =8)q-{p3  
配置     @Xe[5T  
配置     Cn(0ID+3f  
B$cx '_zF  
可以看出当 ,P取为 时，就非附近组的矩矢相乘而言，SE-FMM比传统的FMM能节约一半以上的计算时间。 YC0FXNV  
2.3 误差来源 ;yK:.Vg  
算法误差主要来源于聚合因子及配置因子的球谐展开截断， ij~023$DTt  
  （13） >VWH bo  
然而，在进行数值计算时还包括计算聚合及配 'HDbU#vD  
置因子球谐展开系数的积分误差，以及用多层 [sH[bmLR  
快速多极子方法计算 造成的积分误差﹑α的截断误差和内插外推所形成的误差。多层快速多极子所涉及的误差分析可参考文献[4]。 B#;yko  
3数值结果与讨论 [XP3  
为了分析SE-MLFMA的计算性能，本文计算了以下金属目标的电磁散射特性，并以平板散射为例考察了截断参数P的选取问题。以下结果均是在固定分组且最细层组间距为0.3个波长，多极子模式数L＝6的多层框架下应用RWG基函数[7]和伽略金法，共轭迭代求解得出的。 nFfwVqV  
3.1平板双站RCS iv62Fs'  
图1给出了EFIE用本文方法和计算的3λ×2λ的平板双站水平极化RCS结果，其中未知量个数为1377个。SE-MLFMA（P＝2）总的计算时间为230秒，而传统的MLFMA耗时248秒，其中迭代时间SE-MLFMA为3.35秒/次，传统的MLFMA为5.16秒/次。由图1可看出，SE-MLFMA计算结果与传统的MLFMA相比，当P值取2和3时，除了在42度左右存在较明显的偏差，其它地方则吻合良好；而P值取为1时，展开的球谐函数仅有4个，RCS结果显示出一定的精度损失。 SvR? nN|  
SgocHpyg  
图1 平板3λ×2λRCS结果 7A[`%.!F6  
3.2导体球双站RCS K# dV.  
图2为CFIE用本文方法计算的半径为5个波长﹑58974个未知量的金属球双站水平极化RCS结果，P取为2。SE-MLFMA总的计算时间为8994秒，而传统的MLFMA耗时7428秒，其中迭代时间SE-MLFMA为184秒/次，传统的MLFMA为217秒/次。图中显示，当P取2时，SE-MLFMA与传统的多层快速多极子RCS结果吻合良好。在本例中，SE-MLFMA节约了（）内存和部分迭代时间，但总的计算时间却比原方法更耗时。 j(maj  
f; 1C)  
图 2  5λ导体球RCS结果 <sq@[\l}a  
除此之外，我们还用该法在1G内存的单机上成功计算了近30万个未知量的金属立方体RCS，结果显示与传统的多层快速多极子方法吻合基本良好，并且较传统的多层快速多极子方法节约了453MByte内存（单精度）。通过这些工作，我们将SE-MLFMA与传统的MLFMA做比 .. L(!mm  
SZQ4e  

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结论 DVNGV   
综上所述，SE-MLFMA应用于电磁散射数值求解上比普通的MLFMA更加高效，它能从很大程度上节约内存﹑加速迭代，使得电大目标散射问题的解决面更宽，特别是当散射体表面比较光滑时，精度得以保障。而且方法的普适性很强，可以应用于各类积分方程，包括EFIE﹑MFIE﹑CFIE，还可以应用于各种散射体，包括金属﹑介质﹑涂敷体等（传统的MLFMA能够解决的问题）。寻求合适的多极子分组分层策略可以进一步完善该算法，加快算法的计算速度。同时，该法还可以和基于MLFMA的一些优化算法相结合，如快速远场近似[8]﹑自适应射线传播[9]﹑局部算法[10]等，进一步提升算法性能。 .f V-puE  
I"]5B  
参考文献 "3*Chc  
[1] J.M.Song, C.C.Lu, and W.C.Chew, MLFMA for electromagnetic scatteriong by large complex objects[J], IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1997, 45(10): 1488-1493. i~dW)7  
[2] 聂在平，胡俊，姚海英等，用于复杂目标三维矢量散射分析的快速多极子方法[J]，电子学报，1999，27（6）：104－109. K`nI$l7hg  
[3] 胡俊，复杂目标矢量电磁散射的高效方法——快速多极子方法及其应用[D], 成都：电子科技大学电子工程学院，2000. zOpl#%"  
[4] S.Koc, J.M.Song, W.C.Chew, Error analysis for the multilevel fast multipole algorithm[J], IEEE Antennas Propagation Symposium, 1998: 1518-1521. w`vJE!4B  
[5] Thomas F.Eibert, A Diagonalized Multilevel Fast Multipole Method With Spherical Harmonics Expansion of the k-Space Integrals[J], IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2005, 53(2):  814-817. ?5qo>W<7  
[6] R.F.Harrington, Field computation by Moment Methods[M], New York, MacMillan, 1968. J2`b:%[  
[7] Sadasiva M.Rao, Donald R.Wilton, Allen W.Glisson, Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape[J], IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1882, 30(3): 409-418. "bRg_]\q6  
[8] W.C.Chew, T.J,Cui, and J.M.Song, A FAFFA-MLFMA Algorithm for Electromagnetic Scattering[J], 2002, 50(11):1641-1649. >Udb*76 D  
[9] 胡劼，胡俊，聂在平等，一种自适应的射线传播多层快速多极子方法[J]，电波科学学报，2004，19（6）：669-672. .oq!Ys4KA  
[10] 胡俊，聂在平，雷霖等，三维局部多层快速多极子算法[J]，系统工程与电子技术，2006，28（3）：329-335.

球谐函数的多极子 代码没有吧

多层快速多极子算法 的代码有没 8 ]dhNA5  
    

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